「報酬」に係る源泉所得税の納付

「報酬」に係る源泉所得税の納付も、給与の源泉徴収と同じように支払月の翌月10日までにしなければならないのでしょうか？

そのとおり、支払日の翌月10日が「報酬」の源泉所得税の納付期限になります。
参考までにですが、「納期の特例」を選択していても所得税法第204条第１項第2号にある税理士等の報酬（２号報酬：下記参照）以外の報酬については毎月納付となります。したがって、たとえ納期の特例を選択していても、2号報酬以外の報酬を支払い、翌月10日以降に源泉所得税を納付した場合には不納付加算税の対象となりますので注意が必要です。

所得税法第204条第１項第２号
弁護士（外国法事務弁護士を含む。）、司法書士、土地家屋調査士、公認会計士、税理士、社会保険労務士、弁理士、海事代理士、測量士、建築士、不動産鑑定士、技術士その他これらに類する者で政令で定めるものの業務に関する報酬又は料金